सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $3$ है। तो $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $(1,5,35), (7,5,5), (1, \lambda, 7)$ और $(2 \lambda, 1, 2)$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग है

बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}-\hat{j}-\lambda \hat{k}$ हैं। यदि बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक ही समतल में स्थित हैं, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन,जिसके शीर्षों के स्थिति सदिश $\hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$-\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं,$11$ घन इकाई है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ और $\bar{c}+\bar{a}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारे हैं,तो इसका आयतन $ . . . . . . $ है।

मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,$c = k - i$ है। यदि $\hat{d}$ एक इकाई सदिश है जैसे कि $a \cdot \hat{d} = 0$ और $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो $\hat{d}$ का मान ज्ञात कीजिए।